ENSAYO

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Sobre este proceso de aprendizaje el enfoque de Investigación de Operaciones impartida por el Tutor Carlos Alberto Roncancio, a dejado grandes conocimientos y expectativas en el proceso de aprendizaje los cuales me permitirán poner en practica en mi empleo con el propósito de aportar al desarrollo normal de mis actividades laborales y ademas de alimentar mi conocimiento y profesionalismo a través de los procesos aprendidos con la objetividad que la academia busca en pro del desarrollo de las actividades intelectuales de los estudiantes.

todos estos conceptos de Investigación de Operaciones, ayudan a la interpretación a el análisis financiero de una manera minuciosa la cual aporta a una Empresa en su crecimiento económico, solidez financiera en los diferentes cambios y acciones que se deben de tomar para obtener una sostenibilidad económica, rentable en el campo económico que se desempeña.

MARÍA CRISTINA MUÑOZ TORO

Corporación unificada Nacional de Educación Superior (CUN)

Programa: Administración de Empresas, Séptimo Semestre (7). 

   

método gráfico programación lineal 1

optimización Lineal

DESIGUALDADES LINEALES 

La desigualdad y > 2x - 4, que relaciona las variables x y y, es un ejemplo de lo que llamamos desigualdades lineales. Empecemos examinando este ejemplo particular en términos de una gráfica.

La ecuación y = 2x - 4 tiene como gráfica una línea recta cuya pendiente es 2 y ordenada al origen - 4. Aparece como una línea a trazos en la figura 1. Como un ejemplo, cuando x = 4, y = 2(4) -  4 = 4, de modo que el punto (4, 4) está sobre la línea, como se advierte en la figura 1.

Consideremos ahora la desigualdad

y > 2x - 4

Cuando x = 4, adopta la forma y > 2 (4) - 4, o y > 4. Así, todos los puntos de la forma (4, y) en donde y > 4 satisfacen la desigualdad. En forma gráfica, esto significa que sobre la línea vertical x = 4, la desigualdad y 2x 4 se satisface para todos los puntos situados arriba del punto (4, 4). De manera similar podemos considerar la línea vertical x = 1. Sobre esta línea, la desigualdad y > 2x -  4 se reduce a y > - 2. Que es satisfecha por los puntos (1, y) que están sobre esta línea vertical arriba del punto (1, -2). (Véase la figura 1). Puede advertirse en forma análoga que la desigualdad y > 2x -  4 es satisfecha por todos los puntos (x, y) situados por arriba de la línea recta y = 2x -  4. Esta región del plano xy se dice que es la gráfica de la desigualdad dada.

Una desigualdad lineal entre dos variables x y y es cualquier relación de la forma Ax + By + C > 0 (o < 0) o Ax + By + C ≥ 0 (o<  0). La gráfica de una desigualdad lineal consta de todos aquellos puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad.Consiste de una región del plano xy, no sólo de una línea o curva.

La gráfica de la desigualdad Ax + By + C > 0 es un semiplano acotado por la línea recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. La figura 2 ilustra algunas desigualdades lineales. En cada caso, el semiplano que satisface la desigualdad se encuentra sombreado.

La gráfica de y > mx + b es el semiplano por encima de la línea y = mx + b y la gráfica de y < mx + b es el semiplano debajo de la línea y = mx + b. Si la gráfica incluye a la línea, la indicamos con una línea continua; de otra forma usamos una línea a trazos. Este tipo de líneas siempre corresponde a una desigualdad estricta ( o ) y una línea continua está asociada a una desigualdad débil (> o <).

TALLER

TALLER EN CLASE 

MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIÓN Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables x y y consta de

dos ecuaciones del tipo                      


   1. a₁ x + b₁ y = c₁

      _2.   a₂ x + b₂  y = c₂

de donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son seis constantes. La solución del sistema definido por las ecuaciones (1) y (2) es el conjunto de los valores de x y y que satisfacen ambas ecuaciones. Las ecuaciones (i) y (ii) forman uno de tales sistemas de ecuaciones lineales. Si identificamos la ecuación (i) con la ecuación (1) y la ecuación (ii) con la ecuación (2), las seis constantes tienen los valores a1 = 300, b1 = 400, c1 = 2000, a2 = 4, b2 = 5 y c2 = 26. Nuestro principal interés en esta sección es resolver sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica. La solución por el uso de métodos algebraicos requiere la eliminación de una de las variables, x o y, de las dos ecuaciones; esto nos permite determinar el valor de la otra variable. La eliminación de una de las variables puede

lograrse por sustitución o sumando un múltiplo apropiado de una ecuación a la otra. Los dos procedimientos se ilustran en el ejemplo 1.

EJEMPLO 1 Resuelva las dos ecuaciones que resultan del problema formulado al inicio de esta sección.

                       300x + 400y = 2000

                                  4x + 5y = 26

Solución (Método de sustitución) En este caso, despejamos x o y (lo que sea más sencillo) de una de las ecuaciones y sustituimos el valor de esta variable en la otra ecuación. De la ecuación (ii) (despejando x), tenemos

                                4x = 26 - 5y

                                 X = 26-5y

                                              4

  Sustituimos este valor de x en la ecuación (i) y despejamos y.

             300 (26-5y/4)  + 400y=200

               75(26 - 5y) + 400y = 2000

             1950 - 375y +400y = 2000

              25y = 200 - 1950 = 50

                                      Y=2

sustituyendo y = 2 en la ecuación (iii)  tenemos que 

 x = 1/4 (26 -10) = 4

En consecuencia, la solución del sistema de ecuaciones (i) y (ii) es x = 4 y y = 2. En otras palabras, el comerciante deberá comprar 4 televisores del primer tipo y 2 del segundo, si emplea todo el espacio disponible y utiliza todo su capital.

UNIDAD 4-5

Análisis del punto de equilibrio

Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos yI obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos

por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.

EJEMPLO 1 (Análisis del punto de equilibrio) Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15 y los costos fijos son de $2000 al día. Si vende cada reloj a $20, ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?

Solución 

Sea x el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x relojes es

y_c = Costos variables totales + Costos fijos = 15x + 2000 Dado que cada reloj se vende a $20, el ingreso y_I  = 20x

El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir, 

20x = 15x + 2000 Obtenemos que 5x = 2000 o x = 400.

De modo que deberá producir y vender al día 400 relojes para garantizar que no haya utilidades ni pérdidas. La figura 26 da una interpretación gráfica del punto de equilibrio. Cuando x > 400, el costo y_c excede a los ingresos  y_I  y hay pérdidas. Cuando x = 400, los ingresos  y_I exceden los costos y_c de modo que se obtiene una utilidad.

Observe que gráficamente, el punto de equilibrio corresponde a la intersección de las dos líneas rectas. Una de las líneas tiene la ecuación y = 15x + 2000, la que corresponde al costo de producción, y la otra tiene la ecuación y = 20x, la que corresponde a los ingresos. 

TALLER 

DESIGUALDADES LINEALES DE UNA VARIABLE

DEFINICIÓN La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable, para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera.

Por ejemplo,

la solución de la desigualdad (1) es el conjunto de todos los valores x (el número de unidades vendidas) que producen una utilidad de al menos $2000. A semejanza de las ecuaciones, la solución de una desigualdad se encuentra efectuando ciertas operaciones en la desigualdad con el propósito de transformarla en alguna forma estándar. Hay dos operaciones básicas que se utilizan en el manejo de las desigualdades; estableceremos ahora las reglas que gobiernan estas operaciones.

Ejemplo:

Regla 1
Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.

en símbolos si a >b y c es cualquier número real, entonces

a + c > b + c y a - c  > b - c 

2 x + 4 < 5

-2x< 5-4

-2 x < 1

x > 1/-2

                    I        (          I              +in 

                                     -1    -1/2        0   

S=(-1/2, + +in).


TALLER N°2

EJERCICIOS 3-2

APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES

 Modelos de costo lineal

En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que se conocen como costos fijos y costos variables. A los costos fijos hay que enfrentarse sin importar la cantidad producida del artículo; es decir, no dependen del nivel de producción. 

Ejemplos de costos fijos son las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración. Los costos variables dependen del nivel de producción; es decir, de 

la cantidad de artículos producidos. Los costos de los materiales y de la mano de

 obra son ejemplos de costos variables. El costo total está dado por:

Costo total = Costos variables + Costos fijos

Consideremos el caso en que el costo variable por unidad del artículo es constante. En este caso, los costos variables totales son proporcionales a la cantidad de artículos producidos. Si m denota el costo variable por unidad, entonces los costos variables totales al producir x unidades de artículos son de mx dólares. Si los costos fijos son de b dólares, se desprende que el costo total yc (en dólares) de producir x unidades está dado por

Costo total Costos totales variables Costos fijos

yc  mx b

EJEMPLO 1 

(Modelo de costo lineal) El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50¢ y los costos fijos por día son de $300.

a) Dé la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.

b) Determine el costo de procesar 1000 kilos de granos de café en un día

Solución
a) Si yc representa el costo (en dólares) de procesar x kilos de granos de café por día, se sigue que de acuerdo con el modelo lineal, 

yc = mc + b

en donde m representa el costo variable por unidad y b es el costo fijo. En nuestro caso, m=50¢ = $0.50 y b = $300. Por tanto,

yc = 0.5x + 300

Con la finalidad de dibujar la gráfica de la ecuación (2), primero encontramos dos puntos en ella.

Haciendo x = 0 en la ecuación (2), tenemos que y = 300; haciendo x = 200 en la ecuación (2), tenemos que yc = 0.5(200) + 300 = 400. De modo que dos puntos que satisfacen la ecuación de costo (2) son (0, 300) y (200, 400). Graficando estos dos puntos y uniéndolos mediante una línea recta, obtenemos la gráfica que aparece en la figura 18. Nótese que la porción relevante de la gráfica está situada por completo en el primer cuadrante porque x y yc no pueden ser cantidades negativas.

EJERCICIOS 4-3

ECUACIONES DE UNA VARIABLE

(REPASO)

ejemplos:

x+3 =2                x=3=2          5x=15

    x=2-3              x=2+3          x=15/5

     x=1                   x=5                x=3   

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES 

En problemas verbales, aparecen un número de declaraciones que incluyen frases tales como alguna cantidad mayor que o menor que cierto valor multiplicado, digamos, dos veces o por la mitad de otra cantidad. Los ejemplos siguientes ilustran cómo cambiar tales expresiones a términos algebraicos.

EJEMPLO:

a) Si Juan tiene x pesos y Jaime 5 más que Juan, entonces Jaime tiene (x + 5) pesos. Si Samuel tiene 3 menos que Juan entonces Samuel tiene (x -3) pesos. 

b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años. c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén vende ( 1 3 x 5) refrigeradores.

b) Si Luis tiene una edad de x años y su padre tiene 4 años más que el doble de la edad de Luis, entonces su padre tiene (2x 4) años. c) Si cierto almacén vende x refrigeradores al mes y un segundo almacén vende 5 menos que una tercera parte del anterior, entonces el segundo almacén vende (1/3 x -5) refrigeradores.

EJEMPLO 2 

Determine dos enteros consecutivos cuya suma sea 19. Solución Paso 1 Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño.

Paso 1 

Dado que debemos encontrar dos enteros, debemos decidir a cuál de ellos llamar x. Denotemos con x al entero más pequeño.

Paso 2

Luego, el segundo entero es  x + 1, pues son consecutivos. 

Paso 3 

La expresión suma de dos enteros se cambia a la expresión algebraica 

x +(x +1) =19

x+x+1=19

2x=19-1=18

x=18/2

x=9

matemáticas aplicadas a la Administración

TALLER 1

Mi nombre es Leidy Johana Cardona Galvis, 

estoy cursando séptimo semestre de Administración de Empresas en la Universidad 

Corporación Unificada Nacional de Educación Superior CUN 

Tutor: Carlos Alberto Roncanció.   

Mi nombre es Maria Cristina Muñoz Toro 

estoy cursando séptimo semestre de Administración de Empresas en la Universidad  Corporación Unificada Nacional de Educación Superior CUN.

Tutor. Carlos Alberto Roncancio