SISTEMAS DE ECUACIONES
dos ecuaciones del tipo
1. a1 x + b1 y = c1
2. a2 x
+ b2 y = c2
de donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2 son seis constantes. La solución del sistema definido por las ecuaciones (1) y (2) es el conjunto de los valores de x y y que satisfacen ambas ecuaciones. Las ecuaciones (i) y (ii) forman uno de tales sistemas de ecuaciones lineales. Si identificamos la ecuación (i) con la ecuación (1) y la ecuación (ii) con la ecuación (2), las seis constantes tienen los valores a1 = 300, b1 = 400, c1 = 2000, a2 = 4, b2 = 5 y c2 = 26. Nuestro principal interés en esta sección es resolver sistemas de ecuaciones lineales en forma algebraica. La solución por el uso de métodos algebraicos requiere la eliminación de una de las variables, x o y, de las dos ecuaciones; esto nos permite determinar el valor de la otra variable. La eliminación de una de las variables puede
lograrse por sustitución o sumando un múltiplo apropiado de una ecuación a la otra. Los dos procedimientos se ilustran en el ejemplo 1.
EJEMPLO 1 Resuelva las dos ecuaciones que resultan del problema formulado al inicio de esta sección.
300x + 400y = 2000
4x + 5y = 26
Solución (Método de sustitución) En este caso, despejamos x o y (lo que sea más sencillo) de una de las ecuaciones y sustituimos el valor de esta variable en la otra ecuación. De la ecuación (ii) (despejando x), tenemos
4x = 26 - 5y
X = 26-5y
4
Sustituimos este valor de x en la ecuación (i) y despejamos y.
300 (26-5y/4) + 400y=200
75(26 - 5y) + 400y = 2000
1950 - 375y +400y = 2000
25y = 200 - 1950 = 50
Y=2
sustituyendo y = 2 en la ecuación (iii) tenemos que
x = 1/4 (26 -10) = 4
En consecuencia, la solución del sistema de ecuaciones (i) y (ii) es x = 4 y y = 2. En otras palabras, el comerciante deberá comprar 4 televisores del primer tipo y 2 del segundo, si emplea todo el espacio disponible y utiliza todo su capital.
UNIDAD 4-5
Análisis del punto de equilibrio
Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos yI obtenidos por las ventas, entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos
por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.
EJEMPLO 1 (Análisis del punto de equilibrio) Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por reloj es de $15 y los costos fijos son de $2000 al día. Si vende cada reloj a $20, ¿cuántos relojes deberá producir y vender cada día con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?
Solución
Sea x el número de relojes producidos y vendidos cada día. El costo total de producir x relojes es
yc = Costos variables totales + Costos fijos = 15x + 2000 Dado que cada reloj se vende a $20, el ingreso yI = 20x
El punto de equilibrio se obtiene cuando los ingresos son iguales a los costos, es decir,
20x = 15x + 2000 Obtenemos que 5x = 2000 o x = 400.
De modo que deberá producir y vender al día 400 relojes para garantizar que no haya utilidades ni pérdidas. La figura 26 da una interpretación gráfica del punto de equilibrio. Cuando x > 400, el costo yc excede a los ingresos yI y hay pérdidas. Cuando x = 400, los ingresos yI exceden los costos yc de modo que se obtiene una utilidad.
Observe que gráficamente, el punto de equilibrio corresponde a la intersección de las dos líneas rectas. Una de las líneas tiene la ecuación y = 15x + 2000, la que corresponde al costo de producción, y la otra tiene la ecuación y = 20x, la que corresponde a los ingresos.
TALLER
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