DESIGUALDADES LINEALES 

La desigualdad y > 2x - 4, que relaciona las variables x y y, es un ejemplo de lo que llamamos desigualdades lineales. Empecemos examinando este ejemplo particular en términos de una gráfica.

La ecuación y = 2x - 4 tiene como gráfica una línea recta cuya pendiente es 2 y ordenada al origen - 4. Aparece como una línea a trazos en la figura 1. Como un ejemplo, cuando x = 4, y = 2(4) -  4 = 4, de modo que el punto (4, 4) está sobre la línea, como se advierte en la figura 1.

Consideremos ahora la desigualdad

y > 2x - 4

Cuando x = 4, adopta la forma y > 2 (4) - 4, o y > 4. Así, todos los puntos de la forma (4, y) en donde y > 4 satisfacen la desigualdad. En forma gráfica, esto significa que sobre la línea vertical x = 4, la desigualdad y 2x 4 se satisface para todos los puntos situados arriba del punto (4, 4). De manera similar podemos considerar la línea vertical x = 1. Sobre esta línea, la desigualdad y > 2x -  4 se reduce a y > - 2. Que es satisfecha por los puntos (1, y) que están sobre esta línea vertical arriba del punto (1, -2). (Véase la figura 1). Puede advertirse en forma análoga que la desigualdad y > 2x -  4 es satisfecha por todos los puntos (x, y) situados por arriba de la línea recta y = 2x -  4. Esta región del plano xy se dice que es la gráfica de la desigualdad dada.

Una desigualdad lineal entre dos variables x y y es cualquier relación de la forma Ax + By + C > 0 (o < 0) o Ax + By + C ≥ 0 (o<  0). La gráfica de una desigualdad lineal consta de todos aquellos puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad.Consiste de una región del plano xy, no sólo de una línea o curva.

La gráfica de la desigualdad Ax + By + C > 0 es un semiplano acotado por la línea recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0. La figura 2 ilustra algunas desigualdades lineales. En cada caso, el semiplano que satisface la desigualdad se encuentra sombreado.

La gráfica de y > mx + b es el semiplano por encima de la línea y = mx + b y la gráfica de y < mx + b es el semiplano debajo de la línea y = mx + b. Si la gráfica incluye a la línea, la indicamos con una línea continua; de otra forma usamos una línea a trazos. Este tipo de líneas siempre corresponde a una desigualdad estricta ( o ) y una línea continua está asociada a una desigualdad débil (> o <).

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